Problem An anti-Pascal triangle is an equilateral triangular array of numbers such that, except for the numbers in the bottom row, each number is the absolute value of the difference of the two num...

1. Power Series for $\sin^{-1}(x)$ Step 1: Differentiate [\frac{d}{dx}(\sin^{-1}(x)) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.] Step 2: Expand using the binomial theorem [\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = \sum_{n=0...

Introduction 급수 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$는 발산함이 쉽게 증명됩니다. 이를 이용해 급수 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{an+b}, a\neq 0,\forall n\in \mathbb{N}, an+b\neq 0$도 발산함이 증명됩니다. 그렇다면 급수 $\sum_{n=1}^{\inf...

Introduction 정사각형을 정삼각형으로 만들 수 있을까요? 다시말해, 정사각형을 유한개의 조각으로 분할해 넓이가 같은 정삼각형으로 만들 수 있을까요? 답은 가능하다입니다. 아래와 같이 분할하여 만들 수 있으며, 실제로 조각이 가장 적은 구성임이 최근 증명되었습니다. 심지어 임의의 넓이가 같은 두 다각형 $P$, $Q$에 대해서 $P$를 ...

Definition of Fourier Transform 함수 $f \in L^1(\mathbb{R}^n)$에 대한 푸리에 변환은 다음과 같이 정의됩니다: [\hat{f}(\xi) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x) \; e^{-2\pi i x \cdot \xi} \; dx] 푸리에 변환은 $L^1(\mathbb{R}^n)$에서 $C...

문제 Let $\{ M_i \mid 1 \le i \le 11, i \in \mathbb N \}$ be a collection of sets, where $\lvert M_i\rvert = 5$ and $M_i \cap M_j \ne \varnothing$ for all $1 \le i < j \le 11$. Let $m$ be the lar...

0. Introduction 수학에서 어떤 구조를 다루고자 할 때 그 대상(object) 뿐만 아니라 그들 사이의 함수(morphism)를 보는 것, 나아가 함수들을 모아놓은 새로운 공간을 정의하는 것이 유용하다는 것은 경험적으로 잘 알려진 사실이다. 예를 들어 푸리에 해석학에서는 함수들의 벡터공간과 그것의 정규직교기저를 잡아 주어진 함수를 기저 함수...

0. Introduction 많은 알고리즘 문제들은 그래프 문제로 환원해서 풀 수 있다. 왜냐하면 그래프는 $E\subseteq V^2$ 라는 아주 일반적인 조건으로 정의되기 때문이다. 하지만 $V,E$를 점과 선으로 시각화함으로써 path, cycle, spanning tree, flow, matching, cover, coloring, planar...

0. Motivation 매트로이드(Matroid)는 선형대수, 그래프이론, 체론 등 여러 분야에서 나타나는 독립의 개념을 추상화한 것이다. 그래서 basis, circuit 등 선형대수와 그래프이론의 용어들이 쓰이기도 한다. 1. Definition 유한집합 $S$와 $I\subseteq \mathcal{P} (S)$가 다음 성질을 만족한다고 하자...

Riesz Basis Riesz basis란, 신호처리나 물리학 등에서 실제 구현 가능한 일반적인 basis를 구성하기 위해 고안된 개념입니다. 때문에 orthogonal한 성질은 사라지지만, completeness와 stability를 여전히 만족하고 있습니다. Definition of a Riesz Sequence 힐베르트 공간 상에서 Rie...